Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = \frac{5}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Этап 1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{- 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Этап 1.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 1.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 1.4.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.1.2

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.6.1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.6.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 1.6.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

Этап 1.6.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

Этап 1.6.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

Этап 1.6.2

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

Этап 1.6.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

Этап 1.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

Этап 1.6.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{8}$ и координаты заданной точки $(4, \frac{5}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{5}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

Этап 2.3.2.3

Добавим $- 1$ и $5$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

Этап 2.3.2.4

Разделим $4$ на $2$ .

$y = \frac{x}{8} + 2$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{8} x + 2$

Этап 3