Математический анализ Примеры

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{- 5 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Умножим $- 5$ на $3$ .

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

Этап 1.3.4

Умножим $- 15$ на $1$ .

$- 15 e^{- 5 x}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 0$ .

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 5$ на $0$ .

$- 15 e^{0}$

Этап 1.5.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 15 \cdot 1$

Этап 1.5.3

Умножим $- 15$ на $1$ .

$- 15$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 15$ и координаты заданной точки $(0, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 3 = - 15 x$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = - 15 x + 3$

Этап 3