Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 - \ln (x)$ ; $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 8 - \ln (1)$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 8 - \ln (1)$

Этап 1.2.2

Упростим $8 - \ln (1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$y = 8 - 0$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 8 + 0$

Этап 1.2.2.2

Добавим $8$ и $0$ .

$y = 8$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 8$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $8 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$0 - \frac{1}{x}$

Этап 2.3

Вычтем $\frac{1}{x}$ из $0$ .

$- \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 2.5.1.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(1, 8)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 1 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 8 = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 8 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 8 = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 8 = - x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 8 = - x + 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + 1 + 8$

Этап 3.3.2.2

Добавим $1$ и $8$ .

$y = - x + 9$

Этап 4