Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{4}$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 1.3

Изменим порядок множителей в $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.5.5

Найдем экспоненту.

$2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.7

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 1.5.8

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $4$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{4}, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $4 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 4 x + 4 (- \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Этап 2.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Этап 2.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y - 1 = 4 x - π$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 4 x - π + 1$

Этап 3