Математический анализ Примеры

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 x y^{2}$ ; $(2, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 x y^{2})$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 1.2.6.2

Изменим порядок множителей в $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x y^{2}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$25 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$25 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$25 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$25 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$25 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$25 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 1.3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$25 (2 x y y' + y^{2})$

Этап 1.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (2 x y y') + 25 y^{2}$

Этап 1.3.8.2

Умножим $2$ на $25$ .

$50 x y y' + 25 y^{2}$

Этап 1.3.8.3

Изменим порядок членов.

$25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.3

Развернем $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.5

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.6

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.1.4.8

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Этап 1.5.2

Вычтем $50 x y y'$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2}$

Этап 1.5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вычтем $8 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3}$

Этап 1.5.3.2

Вычтем $8 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 50 x y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4.5

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x)$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.5

Разделим каждый член $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ на $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ на $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.2.3

Сократим общий множитель $4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (25 y)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$y' = \frac{y (25 y)}{y (2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (25 y)}{y (2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$

Этап 1.5.5.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$

Этап 1.5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.1

Умножим $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y \cdot 2}{(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2}$

Этап 1.5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y - 4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $25 y - 4 x y \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.5.1.1

Вынесем множитель $y$ из $25 y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y \cdot 25 - 4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 4 x y \cdot 2$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y \cdot 25 + y (- 4 x \cdot 2)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 25 + y (- 4 x \cdot 2)$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 4 x \cdot 2)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.5.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.6

Чтобы записать $- \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.7

Чтобы записать $\frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 1.5.5.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.8.1

Умножим $\frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 1.5.5.3.8.2

Умножим $\frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y}$

Этап 1.5.5.3.8.3

Изменим порядок множителей в $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y}$

Этап 1.5.5.3.8.4

Изменим порядок множителей в $2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot 2 + y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.10.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.10.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y \cdot y (25 - 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y^{2} (25 - 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y^{2} \cdot 25 + y^{2} (- 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.4

Перенесем $25$ влево от $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + 25 \cdot y^{2} + y^{2} (- 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{- 8 x^{3} + 25 y^{2} - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.11

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.11.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3}) + 25 y^{2} - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3}) - (- 25 y^{2}) - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{3}) - (- 25 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - (8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - (8 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.11.6.1

Перепишем $- (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)$ в виде $- 1 (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- 1 (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$- \frac{8 {(2)}^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} (2)}{2 y (4 {(2)}^{2} + 4 y^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{8 {(2)}^{3} - 25 {(1)}^{2} + 8 {(1)}^{2} (2)}{2 (1) (4 {(2)}^{2} + 4 {(1)}^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8 - 25 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $8$ на $8$ .

$- \frac{64 - 25 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{64 - 25 \cdot 1 + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.4

Умножим $- 25$ на $1$ .

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 1 \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.6

Умножим $8 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.6.1

Умножим $8$ на $1$ .

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.6.2

Умножим $8$ на $2$ .

$- \frac{64 - 25 + 16}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.7

Вычтем $25$ из $64$ .

$- \frac{39 + 16}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.8

Добавим $39$ и $16$ .

$- \frac{55}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{55}{2 (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{55}{2 (4 \cdot 4 + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.5.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{55}{2 (16 + 4 \cdot 1 - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.5.4

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 - 25 \cdot 2)}$

Этап 1.7.5.5

Умножим $- 25$ на $2$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 - 50)}$

Этап 1.7.5.6

Добавим $16$ и $4$ .

$- \frac{55}{2 (20 - 50)}$

Этап 1.7.5.7

Вычтем $50$ из $20$ .

$- \frac{55}{2 \cdot - 30}$

Этап 1.7.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $2$ на $- 30$ .

$- \frac{55}{- 60}$

Этап 1.7.6.2

Сократим общий множитель $55$ и $- 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $55$ .

$- \frac{5 (11)}{- 60}$

Этап 1.7.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 60$ .

$- \frac{5 \cdot 11}{5 \cdot - 12}$

Этап 1.7.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 \cdot 11}{5 \cdot - 12}$

Этап 1.7.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{11}{- 12}$

Этап 1.7.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{11}{12}$

Этап 1.7.7

Умножим $- - \frac{11}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{11}{12})$

Этап 1.7.7.2

Умножим $\frac{11}{12}$ на $1$ .

$\frac{11}{12}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{11}{12}$ и координаты заданной точки $(2, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{11}{12} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{11}{12} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = \frac{11}{12} x + \frac{11}{12} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{11}{12}$ и $x$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{12} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 (6)} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{6} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{11}{6}$ и $- 1$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11 \cdot - 1}{6}$

Этап 2.3.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Умножим $11$ на $- 1$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{- 11}{6}$

Этап 2.3.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6} + \frac{6}{6}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{11 x}{12} + \frac{- 11 + 6}{6}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $- 11$ и $6$ .

$y = \frac{11 x}{12} + \frac{- 5}{6}$

Этап 2.3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{5}{6}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{11}{12} x - \frac{5}{6}$

Этап 3