Математический анализ Примеры

$2 x y - 2 x + y = - 14$ ; $(2, - 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = - 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x y - 2 x + y) = \frac{d}{d x} (- 14)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x y - 2 x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x y' + y) - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 (x y' + y) - 2 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x y' + y) - 2 + y'$

Этап 1.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x y' + 2 y - 2 + y'$

Этап 1.3

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y' + 2 y - 2 + y' = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' - 2 + y' = - 2 y$

Этап 1.5.1.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x y' + y' = - 2 y + 2$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y' + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y'$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Этап 1.5.2.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (2 x) + y' \cdot 1 = - 2 y + 2$

Этап 1.5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ на $2 x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ на $2 x + 1$ .

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 y + 2}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2 (1)}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- y) + 2 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- y + 1)}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{2 (- (y) + 1)}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y) - 1 (- 1))}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y - 1))}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.6.1

Перепишем $- (y - 1)$ в виде $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (y - 1))}{2 x + 1}$

Этап 1.5.3.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$- \frac{2 (y - 1)}{2 (2) + 1}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $- 2$ .

$- \frac{2 ((- 2) - 1)}{2 (2) + 1}$

Этап 1.7.3

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 (2) + 1}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{4 + 1}$

Этап 1.7.4.2

Добавим $4$ и $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Этап 1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- \frac{- 6}{5}$

Этап 1.7.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{6}{5}$

Этап 1.7.6

Умножим $- - \frac{6}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{6}{5})$

Этап 1.7.6.2

Умножим $\frac{6}{5}$ на $1$ .

$\frac{6}{5}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{6}{5}$ и координаты заданной точки $(2, - 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = \frac{6}{5} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{6}{5} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{6}{5}$ и $x$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{6}{5}$ и $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 2}{5}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12}{5}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + 2 = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 2 \cdot 5}{5}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 10}{5}$

Этап 2.3.2.5.2

Вычтем $10$ из $- 12$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 22}{5}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{22}{5}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{22}{5}$

Этап 3