Математический анализ Примеры

$y = {(x^{3} - 25 x)}^{14}$ at the point $(5, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 5$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{14}$ и $g (x) = x^{3} - 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 25 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{14}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 25 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 14$ .

$14 u^{13} \frac{d}{d x} [x^{3} - 25 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 25 x$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} \frac{d}{d x} [x^{3} - 25 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 25 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 25 x])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25 x$ по $x$ равна $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (3 x^{2} - 25 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (3 x^{2} - 25 \cdot 1)$

Этап 1.2.5

Умножим $- 25$ на $1$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (3 x^{2} - 25)$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = 5$ .

$14 {({(5)}^{3} - 25 \cdot 5)}^{13} (3 {(5)}^{2} - 25)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$14 {(125 - 25 \cdot 5)}^{13} (3 {(5)}^{2} - 25)$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 25$ на $5$ .

$14 {(125 - 125)}^{13} (3 {(5)}^{2} - 25)$

Этап 1.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем $125$ из $125$ .

$14 \cdot 0^{13} (3 {(5)}^{2} - 25)$

Этап 1.4.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$14 \cdot 0 (3 {(5)}^{2} - 25)$

Этап 1.4.2.3

Умножим $14$ на $0$ .

$0 (3 {(5)}^{2} - 25)$

Этап 1.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$0 (3 \cdot 25 - 25)$

Этап 1.4.3.2

Умножим $3$ на $25$ .

$0 (75 - 25)$

Этап 1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вычтем $25$ из $75$ .

$0 \cdot 50$

Этап 1.4.4.2

Умножим $0$ на $50$ .

$0$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $0$ и координаты заданной точки $(5, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (5))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 5)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 0 \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.2

Умножим $0$ на $x - 5$ .

$y = 0$

Этап 3