Математический анализ Примеры

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{6}$ и $y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{3})$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Найдем производную в $x = \frac{π}{6}$ .

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{6})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 1.3.5

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Этап 1.3.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Этап 1.3.5.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Этап 1.3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Этап 1.3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Этап 1.3.5.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Этап 1.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Этап 1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Этап 1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Этап 1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Этап 1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

Этап 1.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{9}$

Этап 1.3.8

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Этап 1.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 1.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 1.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{2}{3}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{6}, 2 (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 (\frac{\sqrt{3}}{3})) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Этап 2.3.1.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{- π}{3}$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

Этап 2.3.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Умножим $3$ на $3$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

Этап 2.3.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- π$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

Этап 2.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $6 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Этап 2.3.3.8

Перепишем $- (π - 6 \sqrt{3})$ в виде $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Этап 2.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Этап 2.3.3.10

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Этап 3