Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 1$ ; $x = 0$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{2} - 1$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

Этап 1.2.3

Упростим $2 {(0)}^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 1$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 - 1$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$y = - 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = - 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$4 x$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 0$ .

$4 (0)$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $0$ .

$0$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $0$ и координаты заданной точки $(0, - 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 0 \cdot (x - (0))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 1 = 0 \cdot (x + 0)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $0 \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y + 1 = 0 \cdot x$

Этап 3.3.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$y + 1 = 0$

Этап 3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 4