Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = 6$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.3

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.6.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.6.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.10.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.12

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.13

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.14

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.14.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.14.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.14.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.14.4

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.14.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.15

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.16

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.17

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.18

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = - 1$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.6.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 1.6.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 1.6.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

Этап 1.6.1.1.4

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

Этап 1.6.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 1 - - \frac{10}{3}$

Этап 1.6.1.4

Умножим $- - \frac{10}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

Этап 1.6.1.4.2

Умножим $\frac{10}{3}$ на $1$ .

$- 1 + \frac{10}{3}$

Этап 1.6.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

Этап 1.6.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

Этап 1.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

Этап 1.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 + 10}{3}$

Этап 1.6.5.2

Добавим $- 3$ и $10$ .

$\frac{7}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{7}{3}$ и координаты заданной точки $(- 1, 6)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{7}{3}$ и $x$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{7}{3}$ на $1$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $6$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $6$ на $3$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $7$ и $18$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

Этап 3