Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = \frac{1}{3}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.4.2

Вычтем $e^{x}$ из $3 e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.4.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.4.4.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.4.4.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 0$ .

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{2}{3^{2}}$

Этап 1.6.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2}{9}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{2}{9}$ и координаты заданной точки $(0, \frac{1}{3})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Объединим $\frac{2}{9}$ и $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

Этап 3