Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} + 2 x$ , $(- 1, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 2 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$8 x + 2$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = - 1$ .

$8 (- 1) + 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 + 2$

Этап 1.5.2

Добавим $- 8$ и $2$ .

$- 6$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 6$ и координаты заданной точки $(- 1, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 6 \cdot (x - (- 1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = - 6 \cdot (x + 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 6 \cdot (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 - 6 \cdot (x + 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = - 6 \cdot (x + 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = - 6 x - 6 \cdot 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$y - 2 = - 6 x - 6$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - 6 x - 6 + 2$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 6$ и $2$ .

$y = - 6 x - 4$

Этап 3