Математический анализ Примеры

$y = \frac{25}{x^{2}}$ at the point $(5, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 5$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{25}{x^{2}}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$25 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$25 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.4

Умножим $- 2$ на $25$ .

$- 50 x^{- 3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 50 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $- 50$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 50}{x^{3}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{50}{x^{3}}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 5$ .

$- \frac{50}{{(5)}^{3}}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- \frac{50}{125}$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель $50$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$- \frac{25 (2)}{125}$

Этап 1.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Этап 1.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Этап 1.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{5}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{2}{5}$ и координаты заданной точки $(5, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1))$

Этап 2.3.1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x}{5} + 2$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 3$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 3$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{5} x + 3$

Этап 3