Математический анализ Примеры

$f (x) = \sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ at $x = - \frac{π}{3}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- \frac{π}{3}$ вместо $x$ .

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Этап 1.2.2

Упростим $\sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$y = \sec (\frac{5 π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Этап 1.2.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$y = \sec (\frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Этап 1.2.2.1.3

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$y = 2 + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Этап 1.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - \frac{π}{3}$ и $y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Этап 2.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $\sec (x) \tan (x)$ и $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\sec (x) \tan (x)$ и $0$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = - \frac{π}{3}$ .

$\sec (- \frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sec (\frac{5 π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Этап 2.6.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Этап 2.6.3

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$2 \tan (- \frac{π}{3})$

Этап 2.6.4

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \tan (\frac{5 π}{3})$

Этап 2.6.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$2 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 2.6.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$2 (- \sqrt{3})$

Этап 2.6.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sqrt{3}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 2 \sqrt{3}$ и координаты заданной точки $(- \frac{π}{3}, 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot (x - (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = 0 + 0 - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Объединим $\frac{π}{3}$ и $- 2$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

Этап 3.3.1.4.2

Объединим $\frac{π \cdot - 2}{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем $- 2$ влево от $π$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3$

Этап 3.3.2.2

Добавим $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Этап 3.3.2.3

Объединим противоположные члены в $- 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Изменим порядок множителей в членах $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ и $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3.2.3.2

Добавим $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ и $\frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x + 0 + 3$

Этап 3.3.2.3.3

Добавим $- 2 \sqrt{3} x$ и $0$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x + 3$

Этап 4