Математический анализ Примеры

$y = \sin (8 x) + \sin^{2} (8 x)$ , $(0, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sin (8 x) + \sin^{2} (8 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $8 x$ .

$\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Этап 1.2.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Этап 1.2.4

Умножим $8$ на $1$ .

$\cos (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Этап 1.2.5

Перенесем $8$ влево от $\cos (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 \cos (8 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $8 x$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 1.3.2.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $8 x$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $8$ на $1$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) \cdot 8)$

Этап 1.3.6

Перенесем $8$ влево от $\cos (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (8 \cdot \cos (8 x))$

Этап 1.3.7

Умножим $8$ на $2$ .

$8 \cos (8 x) + 16 \sin (8 x) \cos (8 x)$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$16 \cos (8 x) \sin (8 x) + 8 \cos (8 x)$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 0$ .

$16 \cos (8 (0)) \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$16 \cos (0) \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Этап 1.6.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$16 \cdot 1 \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Этап 1.6.1.3

Умножим $16$ на $1$ .

$16 \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Этап 1.6.1.4

Умножим $8$ на $0$ .

$16 \sin (0) + 8 \cos (8 (0))$

Этап 1.6.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$16 \cdot 0 + 8 \cos (8 (0))$

Этап 1.6.1.6

Умножим $16$ на $0$ .

$0 + 8 \cos (8 (0))$

Этап 1.6.1.7

Умножим $8$ на $0$ .

$0 + 8 \cos (0)$

Этап 1.6.1.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Этап 1.6.1.9

Умножим $8$ на $1$ .

$0 + 8$

Этап 1.6.2

Добавим $0$ и $8$ .

$8$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $8$ и координаты заданной точки $(0, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 8 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 8 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 8 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y = 8 x$

Этап 3