Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ at $x = 0$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} + 2 (0) - 2$

Этап 1.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

Этап 1.2.4

Упростим ${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

Этап 1.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 + 2 (0) - 2$

Этап 1.2.4.1.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 2 (0) - 2$

Этап 1.2.4.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 2$

Этап 1.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 2$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 2$

Этап 1.2.4.2.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$y = - 2$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = - 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} - 6 x + 2$ и $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 0$ .

$3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 2$

Этап 2.6.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 2$

Этап 2.6.1.3

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 0 + 2$

Этап 2.6.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 2$

Этап 2.6.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(0, - 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (0))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 = 2 \cdot (x + 0)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y + 2 = 2 x$

Этап 3.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = 2 x - 2$

Этап 4