Математический анализ Примеры

$y = 2 e^{x} \cos (x)$ , $(0, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x} \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 0$ .

$- 2 e^{0} \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 2 \cdot 1 \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Этап 1.7.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Этап 1.7.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 e^{0} \cos (0)$

Этап 1.7.1.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 + 2 e^{0} \cos (0)$

Этап 1.7.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 2 \cdot 1 \cos (0)$

Этап 1.7.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Этап 1.7.1.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 1.7.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 1.7.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(0, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = 2 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 2 = 2 x$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x + 2$

Этап 3