Математический анализ Примеры

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y^{4} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $y^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Этап 1.3.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$2 y y' + 12$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $2 y y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

Этап 1.5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $4 y^{3} y' - 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ на $2 y (2 y^{2} - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ на $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.2.3

Сократим общий множитель $2 y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 0$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $2 \cdot 1^{2} - 1$ на $1$ .

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3.3

Разделим $6$ на $1$ .

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3.6

Умножим $3$ на $0$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Этап 1.7.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.7.1

Единица в любой степени равна единице.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

Этап 1.7.3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

Этап 1.7.3.7.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.8

Умножим $2$ на $1$ .

$6 - \frac{0}{2}$

Этап 1.7.3.9

Разделим $0$ на $2$ .

$6 - 0$

Этап 1.7.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$6 + 0$

Этап 1.7.4

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $6$ и координаты заданной точки $(0, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 1 = 6 x$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 6 x + 1$

Этап 3