Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{2} - x + 4$ at $x = - 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = - {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$

Этап 1.2

Упростим $- {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$

Этап 1.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = {(- 1)}^{1 + 2} - (- 1) + 4$

Этап 1.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = {(- 1)}^{3} - (- 1) + 4$

Этап 1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - 1 - (- 1) + 4$

Этап 1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - 1 + 1 + 4$

Этап 1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y = 0 + 4$

Этап 1.2.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$y = 4$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{2} - x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x - 1 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 2 x - 1$ и $0$ .

$- 2 x - 1$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = - 1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 - 1$

Этап 2.6.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$1$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(- 1, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 1 \cdot (x - (- 1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = 1 \cdot (x + 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$y - 4 = x + 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = x + 1 + 4$

Этап 3.3.2.2

Добавим $1$ и $4$ .

$y = x + 5$

Этап 4