Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x - 4 x^{2}$ at $(- 3, - 57)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 3$ и $y = - 57$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $7 x - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 - 4 (2 x)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$7 - 8 x$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 8 x + 7$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = - 3$ .

$- 8 \cdot - 3 + 7$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$24 + 7$

Этап 1.6.2

Добавим $24$ и $7$ .

$31$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $31$ и координаты заданной точки $(- 3, - 57)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 57) = 31 \cdot (x - (- 3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 57 = 31 \cdot (x + 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $31 \cdot (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 57 = 0 + 0 + 31 \cdot (x + 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 57 = 31 \cdot (x + 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 57 = 31 x + 31 \cdot 3$

Этап 2.3.1.4

Умножим $31$ на $3$ .

$y + 57 = 31 x + 93$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $57$ из обеих частей уравнения.

$y = 31 x + 93 - 57$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $57$ из $93$ .

$y = 31 x + 36$

Этап 3