Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x - 5}$ , $(4, - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = - 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{1}{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 1.3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2}$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{1}{{((4) - 5)}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вычтем $5$ из $4$ .

$- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 1.6.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 1.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.6.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(4, - 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = - 1 \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 1 = - 1 x - 1 \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y + 1 = - x - 1 \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y + 1 = - x + 4$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - x + 4 - 1$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$y = - x + 3$

Этап 3