Математический анализ Примеры

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{4}$ и $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Этап 1.2.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 \sin (3 x)$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = \frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $3$ и $\frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 1.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.4

Объединим $- 3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{π}{4}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.5.4

Умножим $2$ на $4$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 2.3.2

Вычтем $\frac{\sqrt{2}}{2}$ из обеих частей уравнения.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 2.3.3.5

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 2.3.3.6

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3