Математический анализ Примеры

$y^{2} - x^{2} y - 6 x = 0$ , $(2, 6)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 6$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2} y - 6 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} - x^{2} y - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.3.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \cdot 1$

Этап 1.2.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y y' - (x^{2} y') - (2 y x) - 6$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 y y' - x^{2} y' - 2 y x - 6$

Этап 1.2.5.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6$

Этап 1.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6 = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Добавим $2 x y$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' - x^{2} y' - 6 = 2 x y$

Этап 1.5.1.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y' - x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{2} y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 6$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ на $2 y - x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ на $2 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x y + 6}{2 y - x^{2}}$

Этап 1.5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x y + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 6}{2 y - x^{2}}$

Этап 1.5.3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 2 \cdot 3}{2 y - x^{2}}$

Этап 1.5.3.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y) + 2 \cdot 3$ .

$y' = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$\frac{2 ((2) \cdot y + 3)}{2 y - {(2)}^{2}}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $6$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (6) - {(2)}^{2}}$

Этап 1.7.3

Сократим общий множитель $2$ и $2 (6) - {(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{- {(2)}^{2} + 2 \cdot 6}$

Этап 1.7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 \cdot 6}$

Этап 1.7.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 6$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)}$

Этап 1.7.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Этап 1.7.3.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Этап 1.7.3.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{(2) \cdot (6) + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Этап 1.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{12 + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Этап 1.7.4.2

Добавим $12$ и $3$ .

$\frac{15}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{15}{- 2 + 6}$

Этап 1.7.5.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$\frac{15}{4}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{15}{4}$ и координаты заданной точки $(2, 6)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{15}{4} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{15}{4} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 6 = \frac{15}{4} x + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{15}{4}$ и $x$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 (2)} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{15}{2}$ и $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15 \cdot - 1}{2}$

Этап 2.3.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Умножим $15$ на $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15}{2}$

Этап 2.3.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 6 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 15$ и $12$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{15}{4} x - \frac{3}{2}$

Этап 3