Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ , $(4, - 2 \sqrt{3})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = - 2 \sqrt{3}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Этап 1.2.4.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Этап 1.2.5

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Этап 1.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Этап 1.5.1.2

Добавим $18 x$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 1.5.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 1.5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 1.5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Этап 1.5.5

Разделим каждый член $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ на $2 y (x + 2) (x - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ на $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.2.3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.2.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.2.4.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 4$ в $y = - 2 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$- \frac{y (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{9 (4)}{y ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{(- 2 \sqrt{3}) (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{9 (4)}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.3

Умножим $9$ на $4$ .

$- \frac{(- 2 \sqrt{3}) (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $(4) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $(- 2 \sqrt{3}) (4)$ .

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $((4) + 2) ((4) - 2)$ .

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{2 ((2 + 1) ((4) - 2))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{2 ((2 + 1) ((4) - 2))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{(2 + 1) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общий множитель $4$ и $(4) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- \sqrt{3} \cdot 4$ .

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{(2 + 1) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 + 1) ((4) - 2)$ .

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{2 ((2 + 1) (2 - 1))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{2 ((2 + 1) (2 - 1))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{(2 + 1) (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{(2 + 1) (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.4.1

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.4.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 \cdot 1} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.7

Умножим $- - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.7.2

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.8

Сократим общий множитель $36$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 (18)}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 (18)}{2 (- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2))}$

Этап 1.7.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 18}{2 (- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2))}$

Этап 1.7.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{18}{- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.9

Сократим общий множитель $18$ и $(4) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{- \sqrt{3} (4 + 2) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- \sqrt{3} (4 + 2) ((4) - 2)$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2))}$

Этап 1.7.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2))}$

Этап 1.7.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2)}$

Этап 1.7.4.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.10.1

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- \sqrt{3} \cdot 3 (4 - 2)}$

Этап 1.7.4.10.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 3 \sqrt{3} (4 - 2)}$

Этап 1.7.4.10.3

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 3 \sqrt{3} \cdot 2}$

Этап 1.7.4.10.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 6 \sqrt{3}}$

Этап 1.7.4.11

Сократим общий множитель $9$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.11.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 (3)}{- 6 \sqrt{3}}$

Этап 1.7.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 (3)}{3 (- 2 \sqrt{3})}$

Этап 1.7.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 (- 2 \sqrt{3})}$

Этап 1.7.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3}{- 2 \sqrt{3}}$

Этап 1.7.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Этап 1.7.4.13

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - (\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 1.7.4.14

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.14.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.7.4.14.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 1.7.4.14.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Этап 1.7.4.14.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Этап 1.7.4.14.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.7.4.14.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.7.4.14.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.14.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.7.4.14.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.7.4.14.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.7.4.14.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.14.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.7.4.14.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Этап 1.7.4.14.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.7.4.15

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.7.4.15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.7.5

Чтобы записать $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.7.6

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.7.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.7.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.7.7.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.7.7.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Этап 1.7.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Этап 1.7.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.9.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Этап 1.7.9.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Этап 1.7.9.3

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{\sqrt{3}}{6}$ и координаты заданной точки $(4, - 2 \sqrt{3})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 \sqrt{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{6}$ и $x$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 2)$

Этап 2.3.1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 2)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $- 2$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 2}{3}$

Этап 2.3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $- 2 \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $- 2 \sqrt{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.2.5.1.2

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3