Математический анализ Примеры

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$ , $(1, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Этап 1.2.4

Изменим порядок членов.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Этап 1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Этап 1.5.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ на $x + 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ на $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Этап 1.5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Этап 1.5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Этап 1.5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Этап 1.5.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.5.1

Перепишем $- (2 x + y)$ в виде $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Этап 1.5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$- \frac{2 (1) + y}{(1) + 2 y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Этап 1.7.3

Избавимся от скобок.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Этап 1.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{2 + 1}{1 + 2 (1)}$

Этап 1.7.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2 (1)}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2}$

Этап 1.7.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{3}{3}$

Этап 1.7.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{3}$

Этап 1.7.6.1.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.7.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + 1 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - x + 2$

Этап 3