Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x}$ ; $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{1}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{1}$

Этап 1.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{1}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + 1 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - x + 2$

Этап 4