Математический анализ Примеры

$y = e^{2 x}$ at $x = \frac{1}{2} \ln (5)$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ вместо $x$ .

$y = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$

Этап 1.2

Упростим $e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (5)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$y = e^{2 \ln (5^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.2.2

Упростим $2 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y = e^{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 1.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 1.2.4

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 5^{1}$

Этап 1.2.5

Найдем экспоненту.

$y = 5$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{1}{2} \ln (5)$ и $y = 5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Этап 2.3

Найдем производную в $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ .

$2 e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (5)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$2 e^{2 \ln (5^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.4.2

Упростим $2 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$2 e^{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 2.4.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.4.4

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.4.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 5^{1}$

Этап 2.4.5

Найдем экспоненту.

$2 \cdot 5$

Этап 2.4.6

Умножим $2$ на $5$ .

$10$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $10$ и координаты заданной точки $(\frac{1}{2} \cdot \ln (5), 5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 10 \cdot (x - (\frac{1}{2} \cdot \ln (5)))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 5 = 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 5 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 5 = 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = 10 x + 10 (- \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3.3.1.4

Умножим $10 (- \ln (5^{\frac{1}{2}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$y - 5 = 10 x - 10 \ln (5^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.3.1.4.2

Упростим $- 10 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $10$ под логарифм.

$y - 5 = 10 x - \ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{10})$

Этап 3.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{1}{2}})}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 10})$

Этап 3.3.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot (2 (5))})$

Этап 3.3.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 5)})$

Этап 3.3.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{5})$

Этап 3.3.1.5.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (3125)$

Этап 3.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 10 x - \ln (3125) + 5$

Этап 4