Математический анализ Примеры

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(5 x + 1)}^{2}$ в виде $(5 x + 1) (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

Этап 1.2

Развернем $(5 x + 1) (5 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 1.3.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 1.3.1.5

Умножим $5 x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

Этап 1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

Этап 1.3.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

Этап 1.4

По правилу суммы производная $25 x^{2} + 10 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x^{2}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.7

Умножим $2$ на $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.8

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.10

Умножим $10$ на $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Этап 1.12

Добавим $50 x + 10$ и $0$ .

$50 x + 10$

Этап 1.13

Найдем производную в $x = 0$ .

$50 (0) + 10$

Этап 1.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Умножим $50$ на $0$ .

$0 + 10$

Этап 1.14.2

Добавим $0$ и $10$ .

$10$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $10$ и координаты заданной точки $(0, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 1 = 10 x$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 10 x + 1$

Этап 3