Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x}$ ; $x = 4$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{4}$

Этап 1.2

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sqrt{4}$

Этап 1.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 2$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.9

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.10.1.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.10.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.10.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 2.10.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{1 + 1}}$

Этап 2.10.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Этап 2.10.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{4}$ и координаты заданной точки $(4, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{4} \cdot (x - (4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{1}{4} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$y - 2 = \frac{x}{4} - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{4} - 1 + 2$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$y = \frac{x}{4} + 1$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{4} x + 1$

Этап 4