Математический анализ Примеры

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 20$ , $(3, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (20)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

Этап 1.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

Этап 1.2.5.3

Изменим порядок членов.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

Этап 1.3

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

Этап 1.5.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

Этап 1.5.1.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y' - 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ на $2 (x - y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ на $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.3

Чтобы записать $\frac{- x - y}{x - y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - y) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.4.1

Умножим $\frac{- x - y}{x - y}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.4.2

Изменим порядок множителей в $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.7.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.7.6.1

Перепишем $- (2 x + 2 y + 1)$ в виде $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Этап 1.5.3.3.7.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 3$ в $y = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$- \frac{2 (3) + 2 y + 1}{2 ((3) - y)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $4$ .

$- \frac{2 (3) + 2 (4) + 1}{2 ((3) - (4))}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{6 + 2 (4) + 1}{2 (3 - (4))}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{6 + 8 + 1}{2 (3 - (4))}$

Этап 1.7.3.3

Добавим $6$ и $8$ .

$- \frac{14 + 1}{2 (3 - (4))}$

Этап 1.7.3.4

Добавим $14$ и $1$ .

$- \frac{15}{2 (3 - (4))}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{15}{2 (3 - 4)}$

Этап 1.7.4.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$- \frac{15}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{15}{- 2}$

Этап 1.7.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{15}{2}$

Этап 1.7.6

Умножим $- - \frac{15}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{15}{2})$

Этап 1.7.6.2

Умножим $\frac{15}{2}$ на $1$ .

$\frac{15}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{15}{2}$ и координаты заданной точки $(3, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{15}{2} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{15}{2} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{15}{2}$ и $x$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{15}{2} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{15}{2}$ и $- 3$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot - 3}{2}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $15$ на $- 3$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45}{2}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 4 = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + 4$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45 + 4 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45 + 8}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 45$ и $8$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 37}{2}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{37}{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{15}{2} x - \frac{37}{2}$

Этап 3