Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$y = (π) \sin (10 (π))$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $10$ на $π$ .

$y = π \sin (10 π)$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (π) \sin (10 (π))$

Этап 1.2.3

Упростим $(π) \sin (10 (π))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$y = π \sin (0)$

Этап 1.2.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$y = π \cdot 0$

Этап 1.2.3.3

Умножим $π$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = π$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (10 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $10 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $10 x$ .

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $10$ на $1$ .

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $10$ влево от $\cos (10 x)$ .

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $\sin (10 x)$ на $1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

Этап 2.3.5.2

Изменим порядок членов.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = π$ .

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

Этап 2.5.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

Этап 2.5.1.3

Умножим $10$ на $1$ .

$10 π + \sin (10 (π))$

Этап 2.5.1.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$10 π + \sin (0)$

Этап 2.5.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$10 π + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $10 π$ и $0$ .

$10 π$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $10 π$ и координаты заданной точки $(π, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 10 π \cdot (x - π)$

Этап 3.3.2

Упростим $10 π \cdot (x - π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $10 π (- π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$y = 10 π x - 10 π π$

Этап 3.3.2.2.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

Этап 3.3.2.2.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

Этап 3.3.2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

Этап 3.3.2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

Этап 4