Математический анализ Примеры

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$ , $(4, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Этап 1.2.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Этап 1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Этап 1.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Этап 1.2.4

Перепишем ${(y - 3)}^{2}$ в виде $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

Этап 1.2.5

Развернем $(y - 3) (y - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Этап 1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Этап 1.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 1.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 1.2.6.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 1.2.6.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $3 y$ из $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

Этап 1.2.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.8.3

Умножим $4$ на $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.10.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.10.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.10.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.11

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 y$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.11.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.12

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Этап 1.2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.1.1

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Этап 1.2.13.1.2

Добавим $2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ и $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

Этап 1.2.13.2

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

Этап 1.3

Поскольку $37$ является константой относительно $x$ , производная $37$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

Этап 1.5.1.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' - 6 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ на $2 (y - 3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ на $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

Этап 1.5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

Этап 1.5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

Этап 1.5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

Этап 1.5.3.3.2.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

Этап 1.5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

Этап 1.5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (x + 2)$ в виде $- 1 (x + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

Этап 1.5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 4$ в $y = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$- \frac{(4) + 2}{y - 3}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $4$ .

$- \frac{(4) + 2}{(4) - 3}$

Этап 1.7.3

Добавим $4$ и $2$ .

$- \frac{6}{4 - 3}$

Этап 1.7.4

Вычтем $3$ из $4$ .

$- \frac{6}{1}$

Этап 1.7.5

Разделим $6$ на $1$ .

$- 1 \cdot 6$

Этап 1.7.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 6$ и координаты заданной точки $(4, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 6 \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 6 \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 - 6 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = - 6 x - 6 \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$y - 4 = - 6 x + 24$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = - 6 x + 24 + 4$

Этап 2.3.2.2

Добавим $24$ и $4$ .

$y = - 6 x + 28$

Этап 3