Математический анализ Примеры

$y^{2} = x^{3} - 6 x - 3$ at $(- 2, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 2$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x - 3)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 6 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3.2.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$3 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 6 + 0$

Этап 1.3.3.2

Добавим $3 x^{2} - 6$ и $0$ .

$3 x^{2} - 6$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' = 3 x^{2} - 6$

Этап 1.5

Разделим каждый член $2 y y' = 3 x^{2} - 6$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $2 y y' = 3 x^{2} - 6$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Этап 1.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Этап 1.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Этап 1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y}$

Этап 1.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (y)}$

Этап 1.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y}$

Этап 1.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 3}{y}$

Этап 1.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = - 2$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Сократим общий множитель ${(- 2)}^{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (2)$ .

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.1.4

Умножим $2^{2}$ на $1$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $3 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.1.6.3

Разделим $3 \cdot 2$ на $1$ .

$3 \cdot 2 - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 - \frac{3}{1}$

Этап 1.7.3.3

Разделим $3$ на $1$ .

$6 - 1 \cdot 3$

Этап 1.7.3.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 - 3$

Этап 1.7.4

Вычтем $3$ из $6$ .

$3$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $3$ и координаты заданной точки $(- 2, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (- 2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $3 \cdot (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot 2$

Этап 2.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$y - 1 = 3 x + 6$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 3 x + 6 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $6$ и $1$ .

$y = 3 x + 7$

Этап 3