Математический анализ Примеры

$y = 8 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{6}$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sin (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$8 \cos (x)$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = \frac{π}{6}$ .

$8 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \sqrt{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $4 \sqrt{3}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{6}, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 4 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 + 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Этап 2.3.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

Этап 2.3.1.4.4

Сократим общий множитель.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.1.4.5

Перепишем это выражение.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Этап 2.3.1.5

Объединим $\frac{- π}{3}$ и $2$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- π \cdot 2}{3} \sqrt{3}$

Этап 2.3.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π}{3} \sqrt{3}$

Этап 2.3.1.7

Объединим $\frac{- 2 π}{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 12}{3}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 π \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 12}{3}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)}{3}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Этап 2.3.3.8

Перепишем $- (2 π \sqrt{3} - 12)$ в виде $- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Этап 2.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 12}{3}$

Этап 3