Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{x}$ at $(- 8, - \frac{1}{4})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 8$ и $y = - \frac{1}{4}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Этап 1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = - 8$ .

$- \frac{2}{{(- 8)}^{2}}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$- \frac{2}{64}$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель $2$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{64}$

Этап 1.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Этап 1.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Этап 1.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{32}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{32}$ и координаты заданной точки $(- 8, - \frac{1}{4})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{32} \cdot (x - (- 8))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} \cdot (x + 8)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{32} \cdot (x + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{32} \cdot (x + 8)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} \cdot (x + 8)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} x - \frac{1}{32} \cdot 8$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{32}$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} - \frac{1}{32} \cdot 8$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{32}$ в числитель.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{32} \cdot 8$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{8 (4)} \cdot 8$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{8 \cdot 4} \cdot 8$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{4}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения.

$y = - \frac{x}{32} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- x}{32} + \frac{- 1 - 1}{4}$

Этап 2.3.2.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$y = \frac{- x}{32} + \frac{- 2}{4}$

Этап 2.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{- 2}{4}$

Этап 2.3.2.4.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 2.3.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{32} - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{32} x) - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{32} x - \frac{1}{2}$

Этап 3