Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln^{2} (x)$ at $x = 3$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = \ln ({(3)}^{2})$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \ln (3^{2})$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \ln ({(3)}^{2})$

Этап 1.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \ln (9)$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = \ln (9)$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как ${(x)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на ${(x)}^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Этап 2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Этап 2.2.2.2

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 2.2.2.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 2.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 2.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 2.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x}$

Этап 2.3

Найдем производную в $x = 3$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{2}{3}$ и координаты заданной точки $(3, \ln (9))$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (9)) = \frac{2}{3} \cdot (x - (3))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \ln (9) = \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \ln (9) = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \ln (9) = \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \ln (9) = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y - \ln (9) = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y - \ln (9) = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 1))$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$y - \ln (9) = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$y - \ln (9) = \frac{2 x}{3} + 2 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y - \ln (9) = \frac{2 x}{3} - 2$

Этап 3.3.2

Добавим $\ln (9)$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{2 x}{3} - 2 + \ln (9)$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2}{3} x - 2 + \ln (9)$

Этап 4