Математический анализ Примеры

$y = 4 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 2 π)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{2}$ и $y = 2 π$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Этап 1.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$4 (x \cos (x) + \sin (x))$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \cos (x) + 4 \sin (x)$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = \frac{π}{2}$ .

$4 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.7.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.7.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 π \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.7.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 π \cdot 0 + 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.7.1.3

Умножим $2 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$0 π + 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.7.1.3.2

Умножим $0$ на $π$ .

$0 + 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.7.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Этап 1.7.1.5

Умножим $4$ на $1$ .

$0 + 4$

Этап 1.7.2

Добавим $0$ и $4$ .

$4$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $4$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{2}, 2 π)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 π) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 π = 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $4 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 π = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 π = 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 π = 4 x + 4 (- \frac{π}{2})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$y - 2 π = 4 x + 4 \frac{- π}{2}$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y - 2 π = 4 x + 2 (2) \frac{- π}{2}$

Этап 2.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y - 2 π = 4 x + 2 \cdot 2 \frac{- π}{2}$

Этап 2.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y - 2 π = 4 x + 2 (- π)$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y - 2 π = 4 x - 2 π$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2 π$ к обеим частям уравнения.

$y = 4 x - 2 π + 2 π$

Этап 2.3.2.2

Объединим противоположные члены в $4 x - 2 π + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Добавим $- 2 π$ и $2 π$ .

$y = 4 x + 0$

Этап 2.3.2.2.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$y = 4 x$

Этап 3