Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{x}{2}$ и $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 1.4.6

Умножим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Этап 1.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

Этап 1.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x^{2})$ .

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

Этап 1.5.4.2

Развернем $\ln (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Этап 1.5.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Этап 1.5.4.3.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) + 1$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = - 1$ .

$\ln (- 1) + 1$

Этап 1.7

Натуральный логарифм отрицательного числа не определен.

Неопределенные

Этап 2

Угловой коэффициент прямой не определен, значит, она перпендикулярна оси х в точке $x = - 1$ .

$x = - 1$

Этап 3