Математический анализ Примеры

$x^{2} - y^{2} - 3 x - 19 = 0$ , $(- 4, 3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 4$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2} - 3 x - 19) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - y^{2} - 3 x - 19$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 19$ является константой относительно $x$ , производная $- 19$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + 0$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Добавим $2 x - 2 y y' - 3$ и $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3$

Этап 1.2.5.2

Изменим порядок членов.

$- 2 y y' + 2 x - 3$

Этап 1.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 y y' + 2 x - 3 = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' - 3 = - 2 x$

Этап 1.5.1.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- 2 y y' = - 2 x + 3$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $- 2 y y' = - 2 x + 3$ на $- 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $- 2 y y' = - 2 x + 3$ на $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Этап 1.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Этап 1.5.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x}{y} + \frac{3}{- 2 y}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = - 4$ в $y = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$\frac{- 4}{y} - \frac{3}{2 y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $3$ .

$\frac{- 4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Этап 1.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Этап 1.7.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.7.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{3} - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.4

Чтобы записать $- \frac{4}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.5

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.7.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.7.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.7.6.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.7.6.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Этап 1.7.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 \cdot 2 - 3}{6}$

Этап 1.7.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{- 8 - 3}{6}$

Этап 1.7.8.2

Вычтем $3$ из $- 8$ .

$\frac{- 11}{6}$

Этап 1.7.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{6}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{11}{6}$ и координаты заданной точки $(- 4, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{11}{6} \cdot (x - (- 4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = - \frac{11}{6} x - \frac{11}{6} \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{11}{6}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} - \frac{11}{6} \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{11}{6}$ в числитель.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{6} \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 (3)} \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Этап 2.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{3} \cdot 2$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 11}{3}$ и $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11 \cdot 2}{3}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $- 11$ на $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 22}{3}$

Этап 2.3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем $11$ влево от $x$ .

$y - 3 = - \frac{11 \cdot x}{6} + \frac{- 22}{3}$

Этап 2.3.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 3 = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 9}{3}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 22$ и $9$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 13}{3}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{13}{3}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{11}{6} x) - \frac{13}{3}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{11}{6} x - \frac{13}{3}$

Этап 3