Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x}$ , $x = \frac{4}{9}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{4}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{4}{9}$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Этап 1.2

Упростим $\sqrt{\frac{4}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Этап 1.2.2

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$y = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Этап 1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{2}{\sqrt{9}}$

Этап 1.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{2}{3}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{4}{9}$ и $y = \frac{2}{3}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.9

Найдем производную в $x = \frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.10.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.10.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.10.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.10.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \frac{2^{1}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.10.1.2.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2 \frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.10.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.10.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Этап 2.10.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Этап 2.10.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{1}}}$

Этап 2.10.1.3.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2 (\frac{2}{3})}$

Этап 2.10.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{3}}$

Этап 2.10.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Этап 2.10.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{3}{4})$

Этап 2.10.4

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{3}{4}$ и координаты заданной точки $(\frac{4}{9}, \frac{2}{3})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2}{3}) = \frac{3}{4} \cdot (x - (\frac{4}{9}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{2}{3} = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{9}$ в числитель.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{9}$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 (3)}$

Этап 3.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{3}$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{3}$

Этап 3.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Этап 3.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{2}{3}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1 + 2}{3}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{3}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{3}$

Этап 4