Математический анализ Примеры

$x^{4} + 5 y^{2} = 36$ , $(2, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 5 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 x^{3} + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x^{3} + 5 (2 y y')$

Этап 1.2.2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$4 x^{3} + 10 y y'$

Этап 1.3

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 x^{3} + 10 y y' = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $4 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$10 y y' = - 4 x^{3}$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $10 y y' = - 4 x^{3}$ на $10 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $10 y y' = - 4 x^{3}$ на $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Этап 1.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{10 y}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (5 y)}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (5 y)}$

Этап 1.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{5 y}$

Этап 1.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x^{3}}{5 y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{3}}{5 y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$- \frac{2 {(2)}^{3}}{5 y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $2$ .

$- \frac{2 {(2)}^{3}}{5 (2)}$

Этап 1.7.3

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- \frac{2^{1} {(2)}^{3}}{5 (2)}$

Этап 1.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2^{1 + 3}}{5 (2)}$

Этап 1.7.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$- \frac{2^{4}}{5 (2)}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $2^{4}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{4}$ .

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{5 (2)}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $5 (2)$ .

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2^{3}}{5}$

Этап 1.7.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{8}{5}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{8}{5}$ и координаты заданной точки $(2, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{8}{5} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = - \frac{8}{5} x - \frac{8}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{8}{5}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} - \frac{8}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{8}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + 2 (\frac{8}{5})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $2$ и $\frac{8}{5}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + \frac{2 \cdot 8}{5}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $2$ на $8$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + \frac{16}{5}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$y - 2 = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + 2$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16 + 2 \cdot 5}{5}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16 + 10}{5}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $16$ и $10$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{26}{5}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{8}{5} x) + \frac{26}{5}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{8}{5} x + \frac{26}{5}$

Этап 3