Математический анализ Примеры

$x^{2} - x y - y^{2} = 1$ , $(1, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x y - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y y')$

Этап 1.2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x - (x y' + y) - 2 y y'$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - (x y') - y - 2 y y'$

Этап 1.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x - x y' - y - 2 y y'$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y$

Этап 1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- x y' - 2 y y' - y = - 2 x$

Этап 1.5.1.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- x y' - 2 y y' = - 2 x + y$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' - 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (- x) - 2 y y' = - 2 x + y$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (- 2 y) = - 2 x + y$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ на $- x - 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ на $- x - 2 y$ .

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.5

Перепишем $- (2 x - y)$ в виде $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (2 y)}$

Этап 1.5.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 2 y)}$

Этап 1.5.3.3.9

Перепишем $- (x + 2 y)$ в виде $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Этап 1.5.3.3.10

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Этап 1.5.3.3.11

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$\frac{2 (1) - y}{(1) + 2 y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $0$ .

$\frac{2 (1) - (0)}{(1) + 2 (0)}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 - (0)}{1 + 2 (0)}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2 + 0}{1 + 2 (0)}$

Этап 1.7.3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{1 + 2 (0)}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Этап 1.7.4.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2}{1}$

Этап 1.7.5

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(1, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.2

Упростим $2 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = 2 x - 2$

Этап 3