Математический анализ Примеры

$y = \frac{10}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 5)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10}{1 + e^{- x}}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ в виде ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$10 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + e^{- x}$ .

$10 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$10 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + e^{- x}$ .

$10 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

Этап 1.5.4

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Изменим порядок множителей в $10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$10 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Этап 1.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Этап 1.6.3

Умножим $10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Объединим $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ и $10$ .

$\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

Этап 1.6.3.2

Объединим $\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{10 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Этап 1.7

Найдем производную в $x = 0$ .

$\frac{10 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{10 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Этап 1.8.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Этап 1.8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.8.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Этап 1.8.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{2^{2}}$

Этап 1.8.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{10 \cdot 1}{4}$

Этап 1.8.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{10}{4}$

Этап 1.8.3.2

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 (5)}{4}$

Этап 1.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{5}{2}$ и координаты заданной точки $(0, 5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{5}{2} \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{5}{2} \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x$ .

$y - 5 = \frac{5 x}{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{5 x}{2} + 5$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{5}{2} x + 5$

Этап 3