Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ at $x = \frac{π}{4}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2

Упростим $- 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{- 3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - 2 + \frac{- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 1.2.2.2.2

Добавим $- 3 \sqrt{2}$ и $3 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + \frac{0}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 1.2.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$y = - 2 + 0 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 1.2.2.2.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{4}$ и $y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \cos (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $3 \sin (x)$ и $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 \sin (x)$ и $0$ .

$3 \sin (x) + 0$

Этап 2.4.3

Добавим $3 \sin (x)$ и $0$ .

$3 \sin (x)$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = \frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.6.2

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{4}, - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ и $x$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.5

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{π}{4}$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2$

Этап 3.3.2.2

Добавим $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 3.3.2.4

Добавим $- 3 \sqrt{2} π$ и $3 \sqrt{2} π$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$

Этап 3.3.2.5

Объединим противоположные члены в $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Разделим $0$ на $8$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + 0$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ и $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок $- 2$ и $\frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - 2$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - 2$

Этап 4