Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{6 x}{x + 3}$ at $(- 1, - 3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = - 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{x + 3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 3$ .

$6 \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$6 \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$6 \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$6 \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.4

Добавим $0$ и $3$ .

$6 \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.5

Объединим $6$ и $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.6

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = - 1$ .

$\frac{18}{{((- 1) + 3)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{18}{2^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{18}{4}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 (9)}{4}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{9}{2}$ и координаты заданной точки $(- 1, - 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = \frac{9}{2} \cdot (x - (- 1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{9}{2} \cdot (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 3 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{9}{2}$ и $x$ .

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{9}{2}$ на $1$ .

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 6}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Вычтем $6$ из $9$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{3}{2}$

Этап 3