Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x^{5} - 1}$ at $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = e^{{(1)}^{5} - 1}$

Этап 1.2

Упростим $e^{{(1)}^{5} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = e^{1 - 1}$

Этап 1.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = e^{0}$

Этап 1.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{5} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5} - 1]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5} - 1$ .

$e^{x^{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{5} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{5} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$e^{x^{5} - 1} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x^{5} - 1} (5 x^{4} + 0)$

Этап 2.2.4

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$e^{x^{5} - 1} (5 x^{4})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{5} - 1} (5 x^{4})$ .

$5 e^{x^{5} - 1} x^{4}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $5 e^{x^{5} - 1} x^{4}$ .

$5 x^{4} e^{x^{5} - 1}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$5 {(1)}^{4} e^{{(1)}^{5} - 1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 \cdot 1 e^{{(1)}^{5} - 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $5$ на $1$ .

$5 e^{{(1)}^{5} - 1}$

Этап 2.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$5 e^{1 - 1}$

Этап 2.5.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$5 e^{0}$

Этап 2.5.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 2.5.6

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $5$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 5 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 5 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $5 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 5 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y - 1 = 5 x - 5$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 5 x - 5 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 5$ и $1$ .

$y = 5 x - 4$

Этап 4