Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 5$ и $y = \frac{1}{6}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.2

Умножим ${(x - 1)}^{- 2}$ на $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.6.2

Умножим ${(x - 1)}^{- 2}$ на $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

Этап 1.4.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

Этап 1.4.8.2

Добавим ${(x - 1)}^{- 2}$ и $0$ .

${(x - 1)}^{- 2}$

Этап 1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = - 5$ .

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

Этап 1.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вычтем $1$ из $- 5$ .

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

Этап 1.7.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{1}{36}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{36}$ и координаты заданной точки $(- 5, \frac{1}{6})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{36}$ и $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

Этап 2.3.1.5

Объединим $\frac{1}{36}$ и $5$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{1}{6}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $6$ на $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

Этап 2.3.2.5

Добавим $5$ и $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

Этап 3