Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{4 x}}{x}$ , $(\frac{1}{4}, 4 e)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{1}{4}$ и $y = 4 e$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{4 x}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{x (e^{4 x} \cdot 4) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$\frac{x (4 \cdot e^{4 x}) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (4 e^{4 x}) - e^{4 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (4 e^{4 x}) - e^{4 x}}{x^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x}}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{x^{2}}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $4 e^{4 x} x - e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $4 e^{4 x} x$ .

$\frac{e^{4 x} (4 x) - e^{4 x}}{x^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $- e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} (4 x) + e^{4 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Этап 1.4.3.3

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $e^{4 x} (4 x) + e^{4 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{4 x} (4 x - 1)}{x^{2}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = \frac{1}{4}$ .

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (4 (\frac{1}{4}) - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (4 (\frac{1}{4}) - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

Этап 1.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

Этап 1.6.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

Этап 1.6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4

Упростим.

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

Этап 1.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{4^{2}}}$

Этап 1.6.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{4^{2}}}$

Этап 1.6.2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{16}}$

Этап 1.6.3

Умножим $e$ на $0$ .

$\frac{0}{\frac{1}{16}}$

Этап 1.6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$0 \cdot 16$

Этап 1.6.5

Умножим $0$ на $16$ .

$0$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $0$ и координаты заданной точки $(\frac{1}{4}, 4 e)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{4}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{4})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $x - \frac{1}{4}$ .

$y - 4 e = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 e$ к обеим частям уравнения.

$y = 4 e$

Этап 3