Математический анализ Примеры

$f (x) = (x^{2} + 7) (5 x + 4)$ ; $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = (2^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Этап 1.2.3

Упростим $({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = (4 + 7) (5 (2) + 4)$

Этап 1.2.3.2

Добавим $4$ и $7$ .

$y = 11 (5 (2) + 4)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $5$ на $2$ .

$y = 11 (10 + 4)$

Этап 1.2.3.4

Добавим $10$ и $4$ .

$y = 11 \cdot 14$

Этап 1.2.3.5

Умножим $11$ на $14$ .

$y = 154$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 154$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 7$ и $g (x) = 5 x + 4$ .

$(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [5 x + 4] + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $5 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 2.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 7) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} + 7) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 2.2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$(x^{2} + 7) (5 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 2.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 7) (5 + 0) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Добавим $5$ и $0$ .

$(x^{2} + 7) \cdot 5 + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $5$ влево от $x^{2} + 7$ .

$5 \cdot (x^{2} + 7) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 2.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.2.9

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + 0)$

Этап 2.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x)$

Этап 2.2.10.2

Перенесем $2$ влево от $5 x + 4$ .

$5 (x^{2} + 7) + 2 \cdot (5 x + 4) x$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x + 4) x$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + (2 (5 x) + 2 \cdot 4) x$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Этап 2.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $5$ на $7$ .

$5 x^{2} + 35 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Этап 2.3.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x \cdot x + 2 \cdot 4 x$

Этап 2.3.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot 4 x$

Этап 2.3.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 4 x$

Этап 2.3.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot 4 x$

Этап 2.3.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 2 \cdot 4 x$

Этап 2.3.4.7

Умножим $2$ на $4$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 8 x$

Этап 2.3.4.8

Добавим $5 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 35 + 8 x$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$15 x^{2} + 8 x + 35$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 2$ .

$15 {(2)}^{2} + 8 (2) + 35$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$15 \cdot 4 + 8 (2) + 35$

Этап 2.5.1.2

Умножим $15$ на $4$ .

$60 + 8 (2) + 35$

Этап 2.5.1.3

Умножим $8$ на $2$ .

$60 + 16 + 35$

Этап 2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $60$ и $16$ .

$76 + 35$

Этап 2.5.2.2

Добавим $76$ и $35$ .

$111$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $111$ и координаты заданной точки $(2, 154)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (154) = 111 \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $111 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 154 = 0 + 0 + 111 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 154 = 111 x + 111 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.4

Умножим $111$ на $- 2$ .

$y - 154 = 111 x - 222$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $154$ к обеим частям уравнения.

$y = 111 x - 222 + 154$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 222$ и $154$ .

$y = 111 x - 68$

Этап 4