Математический анализ Примеры

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{2}$ и $y = \frac{π}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $x^{\sin (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Этап 1.1.2

Развернем $\ln (x^{\sin (x)})$ , вынося $\sin (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.5

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.6

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Этап 1.7.2

Объединим $e^{\sin (x) \ln (x)}$ и $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Этап 1.7.3

Изменим порядок членов.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Этап 1.8

Найдем производную в $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.9.1.2

Упростим $1 \ln (\frac{π}{2})$ путем переноса $1$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.9.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.9.1.4

Упростим.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.9.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.9.1.6

Умножим $\frac{π}{2}$ на $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.9.1.7

Умножим $0$ на $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.9.1.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Этап 1.9.1.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Этап 1.9.1.10

Упростим $1 \ln (\frac{π}{2})$ путем переноса $1$ под логарифм.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Этап 1.9.1.11

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Этап 1.9.1.12

Упростим.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Этап 1.9.1.13

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Этап 1.9.1.14

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Этап 1.9.1.15

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.15.1

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Этап 1.9.1.15.2

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 1.9.1.16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.16.1

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 1.9.1.16.2

Перепишем это выражение.

$0 + 1$

Этап 1.9.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $x - \frac{π}{2}$ на $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.3.2.2

Объединим противоположные члены в $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Добавим $- \frac{π}{2}$ и $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Этап 2.3.2.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y = x$

Этап 3